lunes, 31 de marzo de 2008

Números, números, números

A todos en el colegio nos enseñaron los distintos tipos de números que hay: que si números pares e impares, positivos y negativos, reales e irreales... Hasta sabemos que hay familias de números, por que si no, no habría números primos. Hoy voy a enseñaros unos cuantos que no se molestaron en deciros que existen, pero existen (aunque su utilidad sea dudosa, la verdad)

Por ejemplo, tenemos los números amigos. Y no es que se vayan juntos de farra, si no que se trata de dos enteros positivos a y b tales que a es la suma de los divisores de b y b es la suma de los divisores de a. (la unidad se considera divisor propio, pero no lo es el mismo número).

Un ejemplo es el par (220, 284), ya que:

  • los divisores propios de 220 son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110, que suman 284

  • los divisores propios de 284 son 1, 2, 4, 71 y 142, que suman 220.

También podemos encontrar números sociales, esto es, un conjunto de números sociables es una sucesión alícuota (una sucesión de números en que cada término es igual a la suma de los factores propios del término anterior, que no quiero que se me pierda nadie por el camino), o una sucesión de números en que cada término es igual a la suma de los factores propios del término anterior. En el caso de los números sociables, la sucesión es cíclica, es decir, los términos se repiten.

El periodo de esta sucesión, o el orden del conjunto de números sociables, es el número de términos de la sucesión que hay en el ciclo.

Un ejemplo con período 4 sería:

La suma de los factores propios de 1264460 (2^2 * 5 * 17 * 3719) es:

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 17 + 20 + 34 + 68 + 85 + 170 + 340 + 3719 + 7438 + 14876 + 18595 + 37190 + 63223 + 74380 + 126446 + 252892 + 316115 + 632230 = 1547860

La suma de los factores propios de 1547860 (2^2 * 5 * 193 * 401) es:

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 + 193 + 386 + 401 + 772 + 802 + 965 + 1604 + 1930 + 2005 + 3860 + 4010 + 8020 + 77393 + 154786 + 309572 + 386965 + 773930 = 1727636

La suma de los factores propios de 1727636 (2^2 * 521 * 829) es:

1 + 2 + 4 + 521 + 829 + 1042 + 1658 + 2084 + 3316 + 431909 + 863818 = 1305184

La suma de los factores propios de 1305184 (2^5 * 40787) es:

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 40787 + 81574 + 163148 + 326296 + 652592 = 1264460

Y esto nos lleva a los números perfectos: si el periodo de la sucesión es 1, el número es un número sociable de orden 1, o un número perfecto. Por ejemplo, 6 tiene por factores propios los números 1, 2 y 3, que a su vez suman 6.

Hala, para otro día, más números, que por hoy es más que suficiente.

Fuente: Wikipedia

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