La isla de Baal

Hoy os traigo un problema perteneciente al libro ¿Cómo se llama este libro? de Raymond Smullyan. Trata sobre la isla de Baal:

La isla de Baal es una misteriosa isla en la que quien supera las pruebas pertinentes puede llegar a conocer la respuesta al misterio último del universo: ¿por qué existe algo en lugar de nada? Para conseguir la posibilidad de realizar la pregunta a alguien que nos pueda contestar los aspirantes deben realizar tres grupos de pruebas, teniendo en cuenta que cada habitante de la isla puede ser un caballero (que siempre dice la verdad) o un escudero (que siempre miente).

Partimos del Santuario Exterior, donde nos realizan tres preguntas. Si las superamos pasamos al Santuario Medio, donde seremos interrogados de nuevo en tres ocasiones. Superada esta parte tendremos la posibilidad de acceder al Santuario Interior pasando una única prueba más. Allí tendremos la posibilidad de realizar nuestra pregunta.

La historia coloca a un filósofo como aspirante. El problema que os propongo parte de que nuestro personaje ya ha superado las dos primeras tandas de preguntas. Por tanto se dispone a pasar del Santuario Medio al Santuario Interior. Para ello debe superar, como dijimos antes, una única prueba, que consiste en lo siguiente:

Hay cuatro puertas que conducen fuera del Santuario Medio: X, Y, Z y W. Al menos una de ellas nos lleva al Santuario Interior. Si alguien entra por una puerta equivocada (es decir, que no nos lleve al Santuario Interior) será devorado por un feroz dragón.

Delante de las puertas nos encontramos ocho sacerdotes: A, B, C, D, E, F, G y H, cada uno de los cuales es o caballero o escudero, pero no sabemos quién es de cada tipo. Cada uno de los sacerdotes le dice algo a nuestro filósofo. Éstos fueron los enunciados:

A: X es la puerta buena.
B: Al menos una de las puertas Y, Z es buena.
C: A y B son caballeros.
D: X e Y son puertas buenas.
E: X y Z son puertas buenas.
F: O el sacerdote D o el E son caballeros.
G: Si C es caballero, entonces F lo es.
H: Si G y yo somos caballeros, entonces A lo es.

La pregunta es bien sencilla: ¿Qué puerta debería escoger el filósofo?

Tenéis unos días hasta que ponga la solución: a ver si os animáis, y conseguís dar con la puerta buena (y cómo, que es casi más importante).

Visto en Gaussianos

Números, números, números

A todos en el colegio nos enseñaron los distintos tipos de números que hay: que si números pares e impares, positivos y negativos, reales e irreales... Hasta sabemos que hay familias de números, por que si no, no habría números primos. Hoy voy a enseñaros unos cuantos que no se molestaron en deciros que existen, pero existen (aunque su utilidad sea dudosa, la verdad)

Por ejemplo, tenemos los números amigos. Y no es que se vayan juntos de farra, si no que se trata de dos enteros positivos a y b tales que a es la suma de los divisores de b y b es la suma de los divisores de a. (la unidad se considera divisor propio, pero no lo es el mismo número).

Un ejemplo es el par (220, 284), ya que:

• los divisores propios de 220 son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110, que suman 284

• los divisores propios de 284 son 1, 2, 4, 71 y 142, que suman 220.

También podemos encontrar números sociales, esto es, un conjunto de números sociables es una sucesión alícuota (una sucesión de números en que cada término es igual a la suma de los factores propios del término anterior, que no quiero que se me pierda nadie por el camino), o una sucesión de números en que cada término es igual a la suma de los factores propios del término anterior. En el caso de los números sociables, la sucesión es cíclica, es decir, los términos se repiten.

El periodo de esta sucesión, o el orden del conjunto de números sociables, es el número de términos de la sucesión que hay en el ciclo.

Un ejemplo con período 4 sería:

La suma de los factores propios de 1264460 (2^2 * 5 * 17 * 3719) es:

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 17 + 20 + 34 + 68 + 85 + 170 + 340 + 3719 + 7438 + 14876 + 18595 + 37190 + 63223 + 74380 + 126446 + 252892 + 316115 + 632230 = 1547860

La suma de los factores propios de 1547860 (2^2 * 5 * 193 * 401) es:

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 + 193 + 386 + 401 + 772 + 802 + 965 + 1604 + 1930 + 2005 + 3860 + 4010 + 8020 + 77393 + 154786 + 309572 + 386965 + 773930 = 1727636

La suma de los factores propios de 1727636 (2^2 * 521 * 829) es:

1 + 2 + 4 + 521 + 829 + 1042 + 1658 + 2084 + 3316 + 431909 + 863818 = 1305184

La suma de los factores propios de 1305184 (2^5 * 40787) es:

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 40787 + 81574 + 163148 + 326296 + 652592 = 1264460

Y esto nos lleva a los números perfectos: si el periodo de la sucesión es 1, el número es un número sociable de orden 1, o un número perfecto. Por ejemplo, 6 tiene por factores propios los números 1, 2 y 3, que a su vez suman 6.

Hala, para otro día, más números, que por hoy es más que suficiente.

Fuente: Wikipedia

Arte matemático

Hay veces en que dos especialidades tan aparentemente distantas como pueden ser las matemáticas y el arte, por distintas circunstancias, se encuentran mucho más cerca de lo que parecen, o incluso se tocan. Es éste el caso del que quiero hablar hoy: los fractales. Un fractal es un objeto geométrico cuya estructura básica se reproduce a diferentes escalas. Utilizando una pequeña analogía, un fractal sería algo así como el dibujo de una gota de agua, formado por pequeñas gotas en su interior.

El caso es que estas formas, que en principio pueden parecer sencillas, pueden convertirse en obras de arte realmente complejas, como éstas.

Evony & Ivory

Warm glow

Asundriana

Para su creación se utilizan algoritmos de tipo iterativo o recursivo, siempre que sean capaces de reproducir estructuras auto-similares a cualquier escala de observación. Pero esto, aunque suene complejo, no lo es tanto. O sí. Incluso en la naturaleza se pueden encontrar muchos ejemplos de fractales, como es el caso de esta planta, el romanescu, mezcla de coliflor y brécol.


Además de dar lugar a estas curiosas formas de “arte”, los fractales tienen aplicaciones prácticas en campos tan diversos como la compresión de imágenes, la generación de música de forma automática, o la creación de nuevas teorías derivadas de las clásicas ciencias sociales.

Más sobre arte fractal.

Más sobre fractales

Una de camareros

Hace ya un tiempo, una mañana, iba yo tan tranquilo escuchando Gomaespuma, y en estas, que tienen de invitado al gran maestro Tamariz (chiananana...). El caso es que en lugar de hacer un truco de magia, ya que quieras o no, no lucen lo mismo en la radio, planteó el siguiente problema/acertijo:

Cierta vez tres caballeros se reunieron a tomar un café. Una vez que se iban, pidieron al camarero que les trajera la cuenta, éste fue a la caja y el cajero le dice que les cobre 10 euros (imaginemos que están en un sitio carísimo) a cada uno por el café, por lo que el camarero así lo hace.

Los clientes pagan cada uno su parte, pero se quejan al camarero del precio del café, a lo que el camarero vuelve a la caja con la queja de los clientes y el cajero a regañadiente le dice al camarero: “devueveles 5 euros”.

El camarero, que no era tonto se dice a sí mismo: “Son 3 clientes, si tengo que devolverles 5 euros me quedo sin cambio y sin propina”, así que se queda con 2 euros y les devuevle a cada cliente 1 euro. Con lo que cada cliente, en definitiva paga 9 euros.

Por tanto, tenemos que: (3 * 9) + 2 = 29

Entonces, ¿dónde está el euro que falta?

Venga, animaros, espero vuestras contestaciones (y ya pondré la solución más adelante, si nadie se atreve a darla!).